Equihashについて

Fri, 12 Apr 2019 00:00:00 +0000

This is the Japanese translation of “Speaking of Equihash”, prepared for Beam Japan. The original Beam Japan Medium post is here.

一般化された誕生日のパラドックス

1つの部屋に2人だけが居合わせた場合、その2人の誕生日が同じになる確率は、1年における365日と2月29日（閏年）を合わせた366日、すなわち366分の1です。1つの部屋に367人が居合わせた場合、100%の確率で同じ誕生日の人が2人いるでしょう。なぜなら、想定しうる誕生日の日数より多くの人が集まっているからです。しかし、50%の確率で同じ誕生日の人が2人いるようにするためには何人必要なのでしょうか。驚くべきことに、たった23人しか必要ありません。というのも、1年のうち、どの日に生まれるかの確率は等しいにもかかわらず、30人の生徒が在籍する平均的な規模のクラスでは、その確率は70%に上がり、70人が居合わせた場合には、99.9%の確率で2人が同じ誕生日となるのです。

このパラドックスは、可変長である年数によって一般化することができます。1年が $d$ 日だとすると、ランダムに選ばれた $n$ 人の、$n$ がいくつなら、最低でも50％の確率で誕生日が重なるでしょうか。問題は、2つの側面（あるいは2つの分類）にも拡張され得る、2つのグループの人々、例えば、$m$ 人の男性と $n$ 人の女性がいるとき、少なくとも1人の男性と1人の女性が同じ誕生日になる確率（2人の男性または2人の女性が同じ誕生日となる確率は考慮しない。）はどのくらいでしょうか。David Wagner は $k$ 個の側面[1]を一般化し、複数の側面を持つタイプを加えました。「$n$ ビットの $k$ つのリストが価値を持つとすれば、ビット演算の結果が0となるように、それぞれの要素から何らかの方法で1つずつ選びなさい。」といった問いを設定したのです。彼はその複雑さを証明し、そのためのアルゴリズムを考案しました。そこには多大な時間と労力が費やされたでしょう。

最初の誕生日の問題では、組み合わせの矛盾が生じますが、後者の一般化された問題は、暗号化とハッシュの衝突の研究にとって重要となります。

以下で述べられている通り、この問題の要旨はPoWに援用でき、それはASICの収益に限界点を与えるトレードオフに繋がっています。

PoWにおける課題

Biryukov and Khovratovich

Equihashを発展させたBiryukovとKhovratovichは、調整可能なパラメーターによる非対称的なPoWに様々な課題が生じていることを示しました。こうした課題は計算複雑性理論のもとで形式化されます。それらは解決困難であり、理論上では解決できても、いずれの解決策もリソースを費やしすぎてしまうため、現実では有用性に欠けます。実現可能性は、多項式時間解として定義されます。つまり、問題が大きいほど、$k$ が正の定数の場合、$n^k$ のような多項式として計算が大きくなります。しかし、手に負えない問題は指数関数的に大きくなります。十分に大きな問題は、計算するために永久とも言える時間を要するでしょう。

ソース: BIGOCHEATSHEET.COM

これらの難しい問題の1つは、巡回セールスマン問題です。「都市のリストと各都市間の距離が与えられた時に、各都市を訪問して出発地の都市に戻る最短の経路はどれですか？」というものです。もう1つは、試験のスケジュール設定の問題です。「生徒が多くのクラスに登録している場合に、同じ時間に複数の試験が重ならない最短の試験スケジュールを見つけなさい。」という問題です。まだそのようなありふれた問題を解くための優れた方程式はありません。それでも、問いが小さなサイズであれば、力ずくのアプローチはまだ実行可能です。

これらの問題のサブセットであるNP完全問題は、Proof of Workの為の最良の候補です。なぜなら、それらにとって最良なアルゴリズムとは、指数時間で実行され、多項式時間で検証され、それが容易であることだからです。

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